Question

14．我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)A，若存在數(shù)列{a_n}和實(shí)數(shù)x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，則稱數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為：A=$\overline{x（{a}_{1}）（{a}_{2}）（{a}_{3}）…（{a}_{n-1}）（{a}_{n}）}$．如：A=$\overline{2（-1）（3）（-2）（1）}$，則表示A是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），試將m表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式．
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_k+1=$\frac{1}{{1-{a_k}}}，k∈{N^*}$，b_n=$\overline{2（{a}_{1}）（{a}_{2}）（{a}_{3}）…（{a}_{3n-2}）（{a}_{3n-1}）（{a}_{3n}）}$（n∈N^*），是否存在實(shí)常數(shù)p和q，對(duì)于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，d_n=$\overline{2（{C}_{n}^{1}）（{C}_{n}^{2}）（{C}_{n}^{3}）…（{C}_{n}^{n-1}）（{C}_{n}^{n}）}$，求$\lim_{n→∞}\frac{d_n}{{{d_{n+1}}}}$．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)m，由新定義即可得到所求；
（2）分別求得數(shù)列的前幾項(xiàng)，可得數(shù)列是周期為3的數(shù)列，假設(shè)存在實(shí)常數(shù)p和q，對(duì)于任意的n∈N*，${b_n}=p•{8^n}+q$總成立，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到；
（3）由新定義化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合數(shù)列極限的求法，即可得到．

解答 解：（1）m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³
則m=$\overline{x（1）（-2）（3）（-6）}$；
（2）${a_2}=-1，{a_3}=\frac{1}{2}，{a_4}=2，{a_5}=-1，{a_6}=\frac{1}{2}$，
∵${a_{n+1}}=\frac{1}{{1-{a_n}}}$∴${a_{n+2}}=\frac{1}{{1-{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{1-\frac{1}{{1-{a_n}}}}}=\frac{{1-{a_n}}}{{-{a_n}}}$
∴${a_{n+3}}=\frac{1}{{1-{a_{n+2}}}}=\frac{1}{{1+\frac{{1-{a_n}}}{a_n}}}$=a_n（n∈N*），
則{a_n}是周期為3的數(shù)列，
假設(shè)存在實(shí)常數(shù)p和q，對(duì)于任意的n∈N*，${b_n}=p•{8^n}+q$總成立，
則b_n=$\overline{2（{a}_{1}）（{a}_{2}）（{a}_{3}）…（{a}_{3n-2}）（{a}_{3n-1}）（{a}_{3n}）}$
=$[2+（-1）×2+\frac{1}{2}×{2^2}]+[2×{2^3}+（-1）×{2^4}+\frac{1}{2}×{2^5}]$$+…+[2×{2^{3n-3}}+（-1）×{2^{3n-2}}+\frac{1}{2}×{2^{3n-1}}]$
=$[2+（-1）×2+\frac{1}{2}×{2^2}]×（1+{2^3}+{2^6}+…+{2^{3n-3}}）$=$2×\frac{{1-{8^n}}}{1-8}=\frac{2}{7}×{8^n}-\frac{2}{7}$，
∴$p=\frac{2}{7}，q=-\frac{2}{7}$．
即存在實(shí)常數(shù)$p=\frac{2}{7}，q=-\frac{2}{7}$，對(duì)于任意的n∈N*，${b_n}=\frac{2}{7}•{8^n}-\frac{2}{7}$總成立；    
（3）d_n=$\overline{2（{C}_{n}^{1}）（{C}_{n}^{2}）（{C}_{n}^{3}）…（{C}_{n}^{n-1}）（{C}_{n}^{n}）}$=${C}_{n}^{1}$+2${C}_{n}^{2}$+4${C}_{n}^{3}$+…+2^n-1${C}_{n}^{n}$
=$\frac{{2C}_{n}^{1}+{4C}_{n}^{2}+…+{{2}^{n}C}_{n}^{n}}{2}$=$\frac{{C}_{n}^{0}{+2C}_{n}^{1}+…+{{2}^{n}C}_{n}^{n}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1），
∴$\lim_{n→∞}\frac{d_n}{{{d_{n+1}}}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列的周期性和二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，以及數(shù)列極限的求法，考查運(yùn)算能力，具有一定的綜合性．