Question

10．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），離心率為$\frac{1}{2}$，
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F，且交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得|AF|+|BF|=λ|AF|•|BF|恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入橢圓方程，利用$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$及b²+c²=a²，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）分直線l斜率不存在、存在兩種情況討論．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)設(shè)其方程為y=k（x-1）并與同意方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式及橢圓定義，計(jì)算$\frac{|AB|}{|AF|•|BF|}$即可．

解答 解：（1）由橢圓E過(guò)點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4^{2}}$=1，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b²+c²=a²，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓E方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）結(jié)論：存在實(shí)數(shù)$λ=\frac{4}{3}$，使得|AF|+|BF|=λ|AF|•|BF|恒成立．
理由如下：
若直線l斜率不存在，則可得A（1，$\frac{3}{2}$）、B（1，-$\frac{3}{2}$），
于是λ=$\frac{|AF|+|BF|}{|AF|•|BF|}$=$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$；
若直線的斜率存在，設(shè)其方程為：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，可得（3+4k²）x²-8k²x+（4k²-12）=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理可得：
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
|AF|•|BF|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{k}^{2}（{x}_{1}-1）^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}+{k}^{2}（{x}_{1}-1）^{2}}$
=（1+k²）|x₁x₂-（x₁+x₂）+1|
=$\frac{9（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{|AF|+|BF|}{|AF|•|BF|}$=$\frac{|AB|}{|AF|•|BF|}$=$\frac{\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}{\frac{9（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{4}{3}$；
綜上所述，|AF|+|BF|=$\frac{4}{3}$|AF|•|BF|，
即存在實(shí)數(shù)$λ=\frac{4}{3}$，使得|AF|+|BF|=λ|AF|•|BF|恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．