Question

18．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（3，sinA+$\sqrt{3}$cosA），且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$，
（1）求角A的大��；
（2）求$\frac{b+c}{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用向量共線的坐標(biāo)表示和三角函數(shù)的恒等變換，化簡整理即可得到A的值；
（2）運用正弦定理和兩角和差的正弦公式，結(jié)合銳角三角形和正弦函數(shù)的單調(diào)性，計算即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（3，sinA+$\sqrt{3}$cosA），且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$，
$sinA（sinA+\sqrt{3}cosA）=\frac{3}{2}$，即有sin²A+$\sqrt{3}$sinAcosA=$\frac{3}{2}$，
即$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{\sqrt{3}sin2A}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$，
∵$A∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$2A-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，∴$A=\frac{π}{3}$；
（2）$\frac{b+c}{a}=\frac{sinB+sinC}{sinA}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}[sinB+sin（B+\frac{π}{3}）]=2sin（B+\frac{π}{6}）$，
$\left\{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$⇒$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$
$⇒B+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}）$$⇒sin（B+\frac{π}{6}）∈（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]⇒\frac{b+c}{a}∈（\sqrt{3}，2]$．

點評 本題考查向量共線的坐標(biāo)表示，二倍角公式和兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)的運用，同時考查正弦定理的運用，屬于中檔題．