Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，滿足（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]＞0，且f（x-1）＜f（x²-1），則x的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由函數(shù)的單調(diào)性的定義，可得f（x）在[-1，1]上遞增，由f（x-1）＜f（x²-1），可得$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x-1≤1}\\{-1≤{x}^{2}-1≤1}\\{x-1＜{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，由不等式的解法，即可得到所求x的范圍．

解答 解：f（x）滿足（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
即有f（x）在[-1，1]上遞增，
由f（x-1）＜f（x²-1），可得
$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x-1≤1}\\{-1≤{x}^{2}-1≤1}\\{x-1＜{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，
即為$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤2}\\{-\sqrt{2}≤x≤\sqrt{2}}\\{x＞1或x＜0}\end{array}\right.$，
解得1＜x≤$\sqrt{2}$．
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：解不等式，注意運(yùn)用單調(diào)性的定義以及函數(shù)的定義域，屬于中檔題和易錯(cuò)題．