Question

14．已知函數(shù)f（x）=cos（-$\frac{x}{2}$）+sin（$π-\frac{x}{2}$），x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[-90，90]，求函數(shù)f（x）的最值；
（3）求f（x）在[0，180）上的減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+45°），由周期公式即可得解．
（2）由x∈[-90°，90°]解得$\frac{x}{2}$+45°的范圍，可求sin（$\frac{x}{2}$+45°）的范圍，即可求得函數(shù)f（x）的最值．
（3）由x∈[0°，180°），可求$\frac{x}{2}$+45°的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求的f（x）在[0，180）上的減區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（-$\frac{x}{2}$）+sin（$π-\frac{x}{2}$）=cos（$\frac{x}{2}$）+sin（$\frac{x}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+45°），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
（2）∵x∈[-90°，90°]，
∴$\frac{x}{2}$∈[-45°，45°]，$\frac{x}{2}$+45°∈[0，90°]，
∴sin（$\frac{x}{2}$+45°）∈[0，1]，
∴函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+45°）的最大值為$\sqrt{2}$，最小值為0．
（3）∵x∈[0°，180°），
∴$\frac{x}{2}$∈[0，90°），$\frac{x}{2}$+45°∈[45°，135°），
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+45°）在[0，180）上的減區(qū)間為：[90°，180°）．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．