Question

4．已知函數(shù)f（x）=ln（a+x）-ln（a-x）（a＞0）
（Ⅰ）曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=2x，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，不等式f（x）≥2x+$\frac{2{x}^{3}}{3}$恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在x=0時(shí)的導(dǎo)數(shù)等于2求得a的值；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2x+$\frac{2{x}^{3}}{3}$，求其導(dǎo)函數(shù)，然后分當(dāng)0＜a≤1和a＞1判斷導(dǎo)函數(shù)在[0，a）上的符號，得到原函數(shù)在[0，a）上的單調(diào)性，由此可得使不等式f（x）≥2x+$\frac{2{x}^{3}}{3}$恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=ln（a+x）-ln（a-x）（a＞0），
得${f^'}（x）=\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a-x}=\frac{2a}{{{a^2}-{x^2}}}$，
∴${f^'}（0）=\frac{2a}{a^2}=\frac{2}{a}$，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=2x，
∴f′（0）=2，
即$\frac{2}{a}=2$，解得a=1；
（Ⅱ）令$g（x）=f（x）-2x-\frac{{2{x^3}}}{3}（x≥0）$，
則$g'（x）={（{f（x）-2x-\frac{{2{x^3}}}{3}}）^′}=f'（x）-2-2{x^2}=\frac{2a}{{{a^2}-{x^2}}}-2-2{x^2}$
=$\frac{2}{{a}^{2}-{x}^{2}}[{x}^{4}-（{a}^{2}-1）{x}^{2}+a-{a}^{2}]$，
①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，a²-1≤0，a-a²≥0，
∴當(dāng)0≤x＜a時(shí)，x⁴-（a²-1）x²+a-a²≥0，即g'（x）≥0，
∴函數(shù)g（x）在[0，a）上為增函數(shù)；
∴g（x）≥g（0）=0，即當(dāng)0＜a≤1時(shí)，$f（x）≥2x+\frac{{2{x^3}}}{3}$；
②當(dāng)a＞1時(shí)，a²-1＞0，a-a²＜0，
∴$0＜x＜\sqrt{{a^2}-1}＜a$時(shí)，x²-（a²-1）＜0，x²[x²-（a²-1）]＜0，
從而x⁴-（a²-1）x²+a-a²＜0，即g'（x）＜0
從而函數(shù)g（x）在$（{0，\sqrt{{a^2}-1}}）$上為減函數(shù)，不滿足x≥0時(shí)，不等式f（x）≥2x+$\frac{2{x}^{3}}{3}$恒成立．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1]．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求解恒成立問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難題．