Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$-mlnx
（1）若函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)，求m范圍；
（2）在（1）條件下，若函數(shù)h（x）=x-lnx-$\frac{1}{e}$，?x₁，x₂∈[1，e]使得f（x₁）≥h（x₂）成立，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$$-\frac{m}{x}$=$\frac{{x}^{2}-mx+1}{{x}^{2}}$，轉(zhuǎn)化為x²-mx+1＞0，在x＞0時(shí)恒成立，根據(jù)對鉤函數(shù)求解即可．
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性得出f（x）的最大值=f（e）=e-$\frac{1}{e}$-m，h（x）單調(diào)遞增，h（x）的最小值為h（1）=1-$\frac{1}{e}$，
把問題轉(zhuǎn)化為f（x）的最大值≥h（x）的最小值，求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$-mlnx
（1）定義域上為（0，+∞），
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$$-\frac{m}{x}$=$\frac{{x}^{2}-mx+1}{{x}^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)，
∴x²-mx+1≥0，在x＞0時(shí)恒成立．
即x$+\frac{1}{x}$≥m在x＞0時(shí)恒成立，
根據(jù)對鉤函數(shù)得出m≤2，
故m的范圍為：m≤2．
（2）函數(shù)h（x）=x-lnx-$\frac{1}{e}$，?x₁，x₂∈[1，e]使得f（x₁）≥h（x₂）成，
即f（x）的最大值≥h（x）的最小值，
∵f（x）的最大值=f（e）=e-$\frac{1}{e}$-m，
h′（x）=1$-\frac{1}{x}$＞0，x∈[1，e]，
∴h（x）單調(diào)遞增，h（x）的最小值為h（1）=1-$\frac{1}{e}$，
∴可以轉(zhuǎn)化為e-$\frac{1}{e}$-m≥1$-\frac{1}{e}$，
即m≤e-1，
m的范圍為：m≤e-1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)的問題中的應(yīng)用，存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的應(yīng)用，關(guān)鍵是求解導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，屬于難題．