Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$+2=a_n（n≥2），a₁=-$\frac{2}{3}$，S_n-$\frac{n+1}{n+2}$．

Answer 1

分析 利用S_n=-$\frac{1}{2+{S}_{n-1}}$及a₁=-$\frac{2}{3}$，寫出前幾項的值，進而猜測：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$，再用數(shù)學歸納法證明即可．

解答 解：∵S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$+2=a_n（n≥2），
∴S_n-1+2+$\frac{1}{{S}_{n}}$=0，即S_n=-$\frac{1}{2+{S}_{n-1}}$，
∵a₁=-$\frac{2}{3}$，即S₁=-$\frac{2}{3}$，
∴S₂=-$\frac{1}{2+{S}_{1}}$=-$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=-$\frac{3}{4}$，
S₃=-$\frac{1}{2+{S}_{2}}$=-$\frac{1}{2-\frac{3}{4}}$=-$\frac{4}{5}$，
猜測：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$．
下面用數(shù)學歸納法來證明：
①當n=1時，顯然成立；
②假設當n=k時，有S_k=-$\frac{k+1}{k+2}$，
∵Sn+$\frac{1}{{S}_{n}}$+2=a_n（n≥2），
∴S_k+1=-$\frac{1}{2+{（S}_{k+1}-{a}_{k+1}）}$
=-$\frac{1}{2+{S}_{k}}$
=-$\frac{1}{2-\frac{k+1}{k+2}}$
=-$\frac{1}{\frac{k+3}{k+2}}$
=-$\frac{k+2}{k+3}$
=-$\frac{（k+1）+1}{（k+1）+2}$，
即當n=k+1時命題也成立；
由①、②可知：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$．
故答案為：-$\frac{n+1}{n+2}$．

點評 本題考查數(shù)列的前n項和，考查運算求解能力，考查數(shù)學歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．