Question

13．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，直線l：x=my-1經(jīng)過點(diǎn)F₁與橢圓C交于點(diǎn)M，點(diǎn)M在x軸的上方，當(dāng)m=0時(shí)，|MF₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)N是橢圓C上位于x軸上方的一點(diǎn)，MF₁∥NF₂，且$\frac{{S}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}}{{S}_{△N{F}_{1}{F}_{2}}}$=3，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出直線恒過F₁（-1，0），即c=1，令x=-1，代入橢圓方程求得$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又a²-1=b²，解方程，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），（y₁，y₂＞0），代入橢圓方程，結(jié)合直線的斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，
由$\frac{{S}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}}{{S}_{△N{F}_{1}{F}_{2}}}$=3，可得y₁=3y₂，聯(lián)立方程，解得M，N的坐標(biāo)，即可得到直線l的方程．

解答 解：（1）直線l：x=my-1經(jīng)過（-1，0），
即有F₁（-1，0），即c=1，
當(dāng)m=0時(shí)，x=-1，代入橢圓方程，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$，
即有$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又a²-1=b²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），（y₁，y₂＞0），
由題意可得，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$+y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$+y₂²=1，①
由MF₁∥NF₂，則${k}_{M{F}_{1}}$=k${\;}_{N{F}_{2}}$，
即有$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$，②
由$\frac{{S}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}}{{S}_{△N{F}_{1}{F}_{2}}}$=3，
則$\frac{\frac{1}{2}•2•{y}_{1}}{\frac{1}{2}•2•{y}_{2}}$=3即y₁=3y₂③
由①②③解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{4}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
即有M（0，1），N（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
則m=$\frac{{x}_{1}+1}{{y}_{1}}$=1．
即有直線l：x-y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運(yùn)用，掌握點(diǎn)在橢圓上，滿足題意方程，同時(shí)考查直線的斜率及直線方程的求法，屬于中檔題．