Question

定義y=log_1+xf（x，y），x＞0，y＞0．
（1）比較f（1，3）與f（2，3）的大�。�
（2）若e＜x＜y，證明：f（x-1，y）＞f（y-1，x）；
（3）設g（x）=f（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的圖象為曲線C，曲線C在x₀處的切線斜率為k，若x₀∈（1，1-a），且存在實數b，使得k=-4，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,對數的運算性質

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由定義知f（x，y）=（1+x）^y，x＞0，y＞0，由此能比較比較f（1，3）與f（2，3）的大�。�
（2）f（x-1，y）=x^y，f（y-1，x）=y^x，要證f（x-1，y）＞f（y-1，x），只要證x^y＞y^x，由此能證明不等式f（x-1，y）＞f（y-1，x）成立．
（3）由題意知：g（x）=x³+ax²+bx+1，且g′（x₀）=k，于是有3x02+2ax0+b=-4 在x₀∈（1，1-a）上有解．由此利用分類討論思想結合導數性質能求出實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）由定義知f（x，y）=（1+x）^y，x＞0，y＞0，
∴f（1，3）=（1+1）³=8，f（2，2）=（1+2）²=9，
∴f（1，3）＜f（2，2）．…（3分）
（2）f（x-1，y）=x^y，f（y-1，x）=y^x，
要證f（x-1，y）＞f（y-1，x），只要證x^y＞y^x，
∵x^y＞y^x，∴ylnx＞xlny，∴

lnx

x

＞

lny

y

，…（5分）
令h（x）=

lnx

x

，則h′(x)=

1-lnx

x2

，
當x＞e時，h′（x）＜0，∴h（x）在（e，+∞）上單調遞減．
∵e＜x＜y，∴h（x）＞h（y），即

lnx

x

＞

lny

y

，
∴不等式f（x-1，y）＞f（y-1，x）成立．…（8分）
（3）由題意知：g（x）=x³+ax²+bx+1，且g′（x₀）=k，
于是有3x02+2ax0+b=-4 在x₀∈（1，1-a）上有解．
又由定義知log2(x03+ax02+bx0+1)＞0，
即x03+ax02+bx0＞0，
∵x₀＞1，∴x02+ax0＞-b，∴x02+ax0＞3x02+2ax0+4，
即ax0＜-2(x02+2)，
∴a＜-2（x₀+

2

x0

）在x₀∈（1，1-a）有解．…（10分）
設V(x0)=x0+

2

x0

，x₀∈（1，1-a），
①當1-a＞

2

，即a＜1-

2

時，V(x0)=x0+

2

x0

≥2

2

．
當且僅當x0=

2

時，V(x0)min=2

2

，
∴當x0=

2

時，-2（x0+

2

x0

）_max=-4

2

，∴a＜-4

2

．…（12分）
②當1＜1-a≤

2

時，即1-

2

≤a＜0時，V(x0)=x0+

2

x0

在x₀∈（1，1-a）上遞減，
∴x0+

2

x0

＞1-a+

2

1-a

．∴a＜-2[（1-a）+

2

1-a

]
整理得：a²-3a+6＜0，無解，…（13分）
綜上所述，實數a的取值范圍為（-∞，-4

2

）．…（14分）

點評：本題考查兩數大小的比較，考查不等式的證明，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．