Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，右頂點(diǎn)為拋物線(xiàn)y²=8x的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)M（1，0）任作一條直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，Q（4，0），連接QA，QB，求證：∠AQM=∠BQM．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知得橢圓C的右頂點(diǎn)為（2，0），橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，從而b=2．橢圓C的離心率e=

1- b2 a2

=

2

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知∠AQM=∠BQM．當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1）．聯(lián)立方程

y=k(x-1) 2x2+y2=8

，得方程（k²+2）x²-2k²x+k²-8=0．由此能證明∠AQM=∠BQM．

解答： 解：（1）拋物線(xiàn)y²=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
所以橢圓C的右頂點(diǎn)為（2，0），
因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在y軸上，所以b=2．
橢圓C的離心率e=

1- b2 a2

=

2

2

，所以a²=8，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

8

=1．
（2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知∠AQM=∠BQM．
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1）．
聯(lián)立方程

y=k(x-1) 2x2+y2=8

，得方程（k²+2）x²-2k²x+k²-8=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

2k2

k2+2

，x1x2=

k2-8

k2+2

．
因?yàn)閥₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
kQA+kQB=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

k(x1-1)

x1-4

+

k(x2-1)

x2-4

=

k(x1-1)(x2-4)+k(x2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

，
因?yàn)椋▁₁-1）（x₂-4）+（x₂-1）（x₁-4）
=2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8
=

2(k2-8)

k2+2

-

10k2

k2+2

+8=0．
所以k_QA+k_QB=0，
所以∠AQM=∠BQM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查兩角相等的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．