Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，右頂點為拋物線y²=8x的焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（1，0）任作一條直線l交橢圓C于A、B兩點，Q（4，0），連接QA，QB，求證：∠AQM=∠BQM．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得橢圓C的右頂點為（2，0），橢圓C的焦點在y軸上，從而b=2．橢圓C的離心率e=

1- b2 a2

=

2

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）當直線l的斜率不存在時，由橢圓的對稱性可知∠AQM=∠BQM．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1）．聯(lián)立方程

y=k(x-1) 2x2+y2=8

，得方程（k²+2）x²-2k²x+k²-8=0．由此能證明∠AQM=∠BQM．

解答： 解：（1）拋物線y²=8x的焦點坐標為（2，0），
所以橢圓C的右頂點為（2，0），
因為橢圓C的焦點在y軸上，所以b=2．
橢圓C的離心率e=

1- b2 a2

=

2

2

，所以a²=8，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

8

=1．
（2）當直線l的斜率不存在時，由橢圓的對稱性可知∠AQM=∠BQM．
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1）．
聯(lián)立方程

y=k(x-1) 2x2+y2=8

，得方程（k²+2）x²-2k²x+k²-8=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

2k2

k2+2

，x1x2=

k2-8

k2+2

．
因為y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
kQA+kQB=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

k(x1-1)

x1-4

+

k(x2-1)

x2-4

=

k(x1-1)(x2-4)+k(x2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

，
因為（x₁-1）（x₂-4）+（x₂-1）（x₁-4）
=2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8
=

2(k2-8)

k2+2

-

10k2

k2+2

+8=0．
所以k_QA+k_QB=0，
所以∠AQM=∠BQM．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩角相等的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．