Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-1-x-a．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）=lnx-1-x，求導(dǎo)f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）知，f_max（x）=f（1）=0-1-1=-2-a，從而化恒成立問題為最值問題．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx-1-x，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）由（1）知，f_max（x）=f（1）=0-1-1=-2-a，
故若使f（x）≤0恒成立，
只需使-2-a≤0，
即a≥-2．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題．