Question

如圖，在直四棱柱ANCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB=2，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）求證：D₁C⊥AC₁；
（2）求直線D₁C與平面A₁BD所成的角；
（3）求點C₁到平面A₁BD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）要證D₁C⊥AC₁，需證D₁C⊥平面ADC₁即可；
（2）利用圖形中兩兩垂直的線和題中所給的線段的大小，建立空間直角坐標系，利用向量的知識求出直線D₁C與平面A₁BD所成的角；
（3）求出點D₁到平面A₁BD的距離，即可求點C₁到平面A₁BD的距離．

解答： （1）證明：在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
連接C₁D，∵DC=DD₁，
∴四邊形DCC₁D₁是正方形．∴DC₁⊥D₁C．
又AD⊥DC，AD⊥DD₁，DC⊥DD₁=D，
∴AD⊥平面DCC₁D₁，D₁C?平面DCC₁D₁，
∴AD⊥D₁C．∵AD，DC₁?平面ADC₁，
且AD⊥DC=D，∴D₁C⊥平面ADC₁，
又AC₁?平面ADC₁，∴D₁C⊥AC₁．
（2）解：以D為原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則
D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，2，2），A₁（1，0，2）．
∴

DA1

=（1，0，2），

DB

=（1，1，0）．
設

n

=（x，y，z）為平面A₁BD的一個法向量，則

x+2z=0 x+y=0

取z=1，則

n

=（-2，2，1）．
設直線D₁C與平面A₁BD所成的角為α，則
∵

D1C

=（0，2，-2），
∴sinα=|

4-2

4+4+1 • 4+4

|=

2

6

，
∴直線D₁C與平面A₁BD所成的角為arcsin

2

6

；
（3）解：設點D₁到平面A₁BD的距離為h，則
△A₁BD中，A₁B=A₁D=

5

，BD=

2

，∴S_△A1BD=

1

2

•

2

•

3 2

2

=

3

2

；
∴由V_D1-A1BD=V_B-D1A1D，可得

1

3

•

3

2

h=

1

3

•

1

2

•2•1•1，∴h=

2

3

，
∴點C₁到平面A₁BD的距離為

2

3

+2•

2

6

．

點評：本題考查直線與平面的垂直，空間中直線與平面的位置關系，考查線面角，考查點面距離的計算，是中檔題．