Question

已知數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=nb_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=

1

an(2bn+3)

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得b_n=1+2（n-1）=2n-1．數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=2n2-n．由此能求出a_n=4n-3．
（Ⅱ）cn=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．…（2分）
∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=nb_n，
∴Sn=2n2-n．
∴a₁=S₁=1，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3，
又a₁=1也適合上式，
∴a_n=4n-3．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，…（8分）
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=

1

4

[(1-

1

5

)+(

1

5

-

1

9

)+…+(

1

4n-3

-

1

4n+1

)]
=

1

4

(1-

1

4n+1

)=

n

4n+1

．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．