Question

設(shè)命題p：方程

x2

4-t

+

y2

t-2

=1所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓；命題q：曲線y=x²+（2t-3）x+1與x軸交于不同的兩點．如果“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡易邏輯

分析：先求出方程

x2

4-t

+

y2

t-2

=1表示焦點在x軸的橢圓時，t的取值范圍：2＜t＜3；曲線y=x²+（2t-3）x+1與x軸交于不同的兩點時t的范圍：t＜

1

2

，或t＞

5

2

．并且根據(jù)“p∨q”為真，“p∧q”為假知道p，q中一個為真，一個為假，所以討論p，q真假的情況即可求得t的取值范圍．

解答： 解：橢圓

x2

4-t

+

y2

t-2

=1焦點在x軸；
∴

4-t＞0 t-2＞0 4-t＞t-2

，解得2＜t＜3；
拋物線y=x²+（2t-3）x+1與x軸交于不同的兩點；
∴（2t-3）²-4＞0，解得t＜

1

2

，或t＞

5

2

；
由“p∨q”為真，“p∧q”為假知：p，q中一真一假；
若p真q假，則：

2＜t＜3 1 2 ≤t≤ 5 2

，解得：2＜t≤

5

2

；
若p假q真，則：

t≤2，或t≥3 t＜ 1 2 ，或t＞ 5 2

，解得：t＜

1

2

，或t≥3；
∴實數(shù)t的取值范圍為{t|t＜

1

2

，或2＜t≤

5

2

，或t≥3}．

點評：考查真命題，假命題的概念，橢圓的標準方程，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點的充要條件，命題“p∨q”，“p∧q”的真假情況．