Question

以下命題：
①△ABC中，若a，b，c成等比，則∠B∈（0，

π

3

]；  
②數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為S_n，若a_n+1=2S_n（n∈N^*），則{a_n}為等比數(shù)列；  
③一個(gè)幾何體的主視圖和左視圖為全等的兩個(gè)等腰Rt△，則其俯視圖一定不能為等邊三角形；  
④腰長(zhǎng)為1的等腰Rt△繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的表面積為（

2

+

1

2

）π．
其中正確的命題為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形,空間位置關(guān)系與距離

分析：①由等比數(shù)列的性質(zhì)和余弦定理，基本不等式即可求出B的范圍；
②由數(shù)列的通項(xiàng)和求和之間的關(guān)系，即可判斷，注意n從2開始；
③畫出三棱錐，若其俯視圖為等邊三角形，推出左視圖與主視圖不全等，即可判斷；
④畫出腰長(zhǎng)為1的等腰Rt△繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體如圖，兩個(gè)圓錐倒扣在一起，求出表面積．

解答： 解：①△ABC中，若a，b，c成等比，則b²=ac，由cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

=

a2+c2

2ac

-

1

2

≥

2ac

2ac

-

1

2

=

1

2

，由B為三角形的內(nèi)角，
得0＜B≤

π

3

，故①對(duì)；
②數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為S_n，若a_n+1=2S_n（n∈N^*），則a₂=2S₁=2a₁，
將n換為n-1，得，a_n=2S_n-1，有a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n=2，3，…），
故②錯(cuò)；
③一個(gè)幾何體的主視圖和左視圖為全等的兩個(gè)等腰Rt△，
若其俯視圖為等邊三角形，如圖，AB⊥平面BCD，且△BCD是等邊△，
則左視圖與主視圖不全等，矛盾，故③對(duì)；
④腰長(zhǎng)為1的等腰Rt△繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體如圖，
兩個(gè)圓錐倒扣在一起，高為

2

2

，底面半徑為

2

2

，
則表面積為2×π×

2

2

×1=

2

π，故④錯(cuò)．
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題考查解直角三角形的余弦定理和基本不等式的運(yùn)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和之間的關(guān)系，考查空間幾何體的三視圖和旋轉(zhuǎn)體的表面積，屬于中檔題．