Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax-2a²lnx．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）證明：$\sum_{i=2}^{n}$$\frac{1}{lni}$＞$\frac{n-1}{n}$（n≥2，且n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的范圍即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-1-$\frac{lnx}{x}$，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到g（x）≥0，裂項求和即可．

解答 解：（1）f′（x）=x-a-$\frac{{2a}^{2}}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax-{2a}^{2}}{x}$=$\frac{（x-2a）（x+a）}{x}$，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
a＜0時：令f′（x）＞0，解得：x＞-a或x＜2a，
∴-a≥1即a≤-1，
a=0時：f（x）=$\frac{1}{2}$x²在區(qū)間[1，+∞）遞增，符合題意，
a＞0時：令f′（x）＞0，解得：x＞2a或x＜-a，
∴2a≥1，解得：a≥$\frac{1}{2}$，
綜上，a的范圍是：（-∞，-1]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）∪{0}；
（2）令g（x）=x-1-$\frac{lnx}{x}$，g（x）的定義域為（0，+∞）；
g′（x）=1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
則①當(dāng)0＜x＜1時，N（x）＜0，則g′（x）＜0，
②當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，
則g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
則g（x）_min=g（1）=0
∴g（x）≥0可得，x²-x≥lnx（x＞0）
令x=k≥2，
則k²-k＞0，lnk＞0，k²-k＞lnk；
則$\frac{1}{lnk}$＞$\frac{1}{{k}^{2}-k}$=$\frac{1}{k（k-1）}$=$\frac{1}{k-1}$-$\frac{1}{k}$，
則$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+$\frac{1}{ln4}$+…$\frac{1}{lnn}$＞1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$．

點(diǎn)評 本題綜合性很強(qiáng)，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，不等式的證明及裂項求和的方法，屬于難題．