Question

16．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AB=AA₁=2，N、M分別是AB、C₁D的中點(diǎn)．
（1）求證：NM∥平面A₁ADD₁；
（2）求證：NM⊥平面A₁B₁M．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明MN∥平面A₁ADD₁．
（2）由$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=0，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{A}_{1}M}$=0，利用向量法能證明NM⊥平面A₁B₁M．

解答 證明：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AB=AA₁=2，N、M分別是AB、C₁D的中點(diǎn)，
∴M（0，1，1），N（1，1，0），$\overrightarrow{MN}$=（1，0，-1），
∵平面A₁ADD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=0，
∵M(jìn)N?平面A₁ADD₁，∴MN∥平面A₁ADD₁．
（2）A₁（1，0，2），B₁（1，2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-1，1，-1），
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=0，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{A}_{1}M}$=0，
∴MN⊥A₁B₁，MN⊥A₁M，
∵A₁B₁∩A₁M=A₁，
∴NM⊥平面A₁B₁M．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．