Question

11．函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1，x∈[0，4]，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 配方可得f（x）=-x²+2ax+1=-（x-a）²+a²+1：
（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-（x-1）²+2，易得二次函數(shù)的最值；
（2）由二次函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱軸的關(guān)系，分類討論可得．

解答 解：配方可得f（x）=-x²+2ax+1=-（x-a）²+a²+1，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-（x-1）²+2，
∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最大值2，
當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)取最小值-7；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在x∈[0，4]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最大值1，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)取最小值8a-15，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇8a-15，1]；
當(dāng)a≥4時(shí)，函數(shù)f（x）在x∈[0，4]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最小值1，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)取最大值8a-15，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇1，8a-15]；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在x∈[0，a]上單調(diào)遞增，在x∈[a，4]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)取最大值a²+1，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)取最小值8a-15，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇8a-15，a²+1]；
當(dāng)2≤a＜4時(shí)，函數(shù)f（x）在x∈[0，a]上單調(diào)遞增，在x∈[a，4]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)取最大值a²+1，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最小值1，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇1，a²+1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的值域，涉及分類討論的思想和數(shù)形結(jié)合，屬中檔題．