Question

11．函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1，x∈[0，4]，
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的最值；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 配方可得f（x）=-x²+2ax+1=-（x-a）²+a²+1：
（1）當a=1時，f（x）=-（x-1）²+2，易得二次函數(shù)的最值；
（2）由二次函數(shù)的單調性和對稱軸的關系，分類討論可得．

解答 解：配方可得f（x）=-x²+2ax+1=-（x-a）²+a²+1，
（1）當a=1時，f（x）=-（x-1）²+2，
∴當x∈[0，1]時，函數(shù)f（x）單調遞增，
當x∈[1，4]時，函數(shù)f（x）單調遞減，
∴當x=1時，函數(shù)取最大值2，
當x=4時，函數(shù)取最小值-7；
（2）當a≤0時，函數(shù)f（x）在x∈[0，4]上單調遞減，
∴當x=0時，函數(shù)取最大值1，當x=4時，函數(shù)取最小值8a-15，
∴函數(shù)的值域為[8a-15，1]；
當a≥4時，函數(shù)f（x）在x∈[0，4]上單調遞增，
∴當x=0時，函數(shù)取最小值1，當x=4時，函數(shù)取最大值8a-15，
∴函數(shù)的值域為[1，8a-15]；
當0＜a＜2時，函數(shù)f（x）在x∈[0，a]上單調遞增，在x∈[a，4]上單調遞減，
∴當x=a時，函數(shù)取最大值a²+1，當x=4時，函數(shù)取最小值8a-15，
∴函數(shù)的值域為[8a-15，a²+1]；
當2≤a＜4時，函數(shù)f（x）在x∈[0，a]上單調遞增，在x∈[a，4]上單調遞減，
∴當x=a時，函數(shù)取最大值a²+1，當x=0時，函數(shù)取最小值1，
∴函數(shù)的值域為[1，a²+1]．

點評 本題考查二次函數(shù)的值域，涉及分類討論的思想和數(shù)形結合，屬中檔題．