Question

6．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f（x）=2^x+1+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在所給的坐標系內畫出函數(shù)f（x）的草圖，并求方程f（x）=m恰有兩個不同實根時的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質利用對稱性進行轉化求解即可．
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象，利用指數(shù)函數(shù)的性質，結合數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：（1）若x＞0，則-x＜0，
∵當x≤0時，f（x）=2^x+1+1．且f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=2^-x+1+1=f（x）．
即當x＞0時，f（x）=2^-x+1+1．
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x+1}+1，}&{x≤0}\\{{2}^{-x+1}+1，}&{x＞0}\end{array}\right.$
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
當x≤0時，f（x）=2^x+1+1∈（1，3]．
∴要使方程f（x）=m恰有兩個不同實根，
則滿足1＜m＜3．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)與方程的應用，根據(jù)函數(shù)奇偶性的對稱性的性質進行轉化求解是解決本題的關鍵．