Question

已知圓的方程為，直線，設(shè)點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)在圓外，試判斷直線與圓的位置關(guān)系；

（2）若點(diǎn)在圓上，且，，過點(diǎn)作直線分別交圓于兩點(diǎn)，且直線和的斜率互為相反數(shù)；

① 若直線過點(diǎn)，求的值；

② 試問：不論直線的斜率怎樣變化，直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

 

Answer 1

（1）直線與圓相交；

（2）①；②不論直線的斜率怎樣變化，直線的斜率總為定值

【解析】

試題分析：（1）先由點(diǎn)A在園外得出，再利用點(diǎn)到直線距離公式求出圓O圓心O到直線的距離與半徑比較即可判定出直線與圓O的位置關(guān)系；（2）①由直線斜率公式求出直線AM的斜率，再由直線和的斜率互為相反數(shù)，知直線和的傾斜角互補(bǔ)，將角AMN用直線AM的傾斜角表示出來，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式即可求出；②設(shè)直線AM的斜率為k，寫出直線AM方程，與圓O聯(lián)立求出M點(diǎn)坐標(biāo)，由題知AN的斜率為-k，同理求出M的坐標(biāo)，利用斜率公式求出直線MN斜率，化簡(jiǎn)可知是否為定值.

試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，得，即

∴ 圓心到直線的距離，

∴ 直線與圓相交． 5分

（2）①由點(diǎn)在圓上，且，，得，即．

記直線的傾斜角為，則， 7分

又∵ ， ∴ 直線的傾斜角為，

∴． 10分

②記直線的斜率為，則直線的方程為：．

將代入圓的方程得：，

化簡(jiǎn)得：，

∵ 是方程的一個(gè)根， ∴ ， ∴，

由題意知：，同理可得，， 13分

∴ ，

∴ ，

∴ 不論直線的斜率怎樣變化，直線的斜率總為定值． 16分

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式；直線與圓的位置關(guān)系；直線方程；直線的斜率公式；運(yùn)算求解能力