Question

5．已知f（n）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，且g（n）=$\frac{1}{f（n）-1}$[f（1）+f（2）+…十f（n-1）]．
（1）寫出g（2），g（3），g（4）的值；
（2）歸納g（n）的值，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （1）f（1）=1，f（2）=$\frac{3}{2}$，f（3）=$\frac{11}{6}$，f（4）=$\frac{25}{12}$．可得g（2）=$\frac{1}{f（2）-1}$×f（1）=2，g（3）=3，g（4）=4．
（2）由（1）猜想g（n）=n（n≥2）．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）f（1）=1，f（2）=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，f（3）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{11}{6}$，f（4）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{25}{12}$．
∴g（2）=$\frac{1}{f（2）-1}$×f（1）=2，g（3）=$\frac{1}{f（3）-1}$[f（1）+f（2）]=3，g（4）=$\frac{1}{f（4）-1}$[f（1）+f（2）+f（3）]=4．
（2）由（1）猜想g（n）=n（n≥2）．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=2時成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*，k≥2）時，g（k）=k．
即g（k）=$\frac{1}{f（k）-1}$[f（1）+f（2）+…+f（k-1）]=k，
∴f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）-k，
則當(dāng)n=k+1時，g（k+1）=$\frac{1}{f（k+1）-1}$[f（1）+f（2）+…+f（k）]
=$\frac{1}{f（k）+\frac{1}{k+1}-1}$•[（k+1）f（k）-k]
=k+1．
因此當(dāng)n=k+1時，命題g（k+1）=k+1成立．
綜上可得：?n∈N^*，g（n）=n（n≥2）成立．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法，考查了猜想能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．