Question

若sin²x+cosx+a²≥0對一切x∈[π，

3

2

π]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：把不等式變形，分離參數(shù)a，換元后由x的范圍求出函數(shù)的最大值，由a²大于等于函數(shù)的最大值得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：由sin²x+cosx+a²≥0對一切x∈[π，

3

2

π]恒成立，得
a²≥-sin²x-cosx=cos²x-cosx-1對一切x∈[π，

3

2

π]恒成立，
令t=cosx，g（t）=t2-t-1=(t-

1

2

)2-

5

4

．
∵x∈[π，

3

2

π]，則t∈[-1，0]．
∴g_max（t）=1，
∴a²≥1，即a≤-1或a≥1．
∴a的取值范圍是（-∞，-1]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的最值，訓(xùn)練了分離變量法，考查了利用配方法求二次函數(shù)的最值，是中檔題．