Question

18．曲線y=2lnx上的點到直線2x-y+1=0處的最短距離是$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 設直線2x-y+c=0是曲線y=2lnx的切線且與直線2x-y+1=0平行，利用導數的幾何意義求出切點坐標，再由點到直線的距離公式，即可算出曲線y=2lnx上的點到直線2x-y+1=0的最短距離．

解答 解：設直線2x-y+c=0與直線2x-y+1=0平行，
且與曲線y=2lnx相切，切點為P（m，2lnm）
由y'=$\frac{2}{x}$，即有$\frac{2}{m}$=2，解得m=1，
可得切點為P（1，0），
可得P到直線2x-y+1=0的距離d=$\frac{|2-0+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
即曲線y=2lnx上的點到直線2x-y+1=0的最短距離是$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題求曲線上動點到直線的最短距離，著重考查了點到直線的距離公式和導數的幾何意義等知識，屬于中檔題．