Question

已知a²+b²+c²=1，若

2

a+

3

b+2c≤|x-1|+|x+m|對任意實數(shù)a，b，c，x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、[8，+∞）
• B、（-∞，-4]∪[2，+∞）
• C、（-∞，-1]∪[8，+∞）
• D、[2，+∞）

Answer 1

考點：一般形式的柯西不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由柯西不等式求得|

2

a+

3

b+2c|≤3，可得|x-1|+|x+m|≥3對任意實數(shù)x恒成立．再根據(jù)|x-1|+|x+m|≥|m+1|，可得|m+1|≥3，由此求得m的范圍．

解答： 解：由柯西不等式得，(

2

a+

3

b+2c)2≤(2+3+4)(a2+b2+c2)=9，
即|

2

a+

3

b+2c|≤3，即

2

a+

3

b+2c的最大值為3，當(dāng)且僅當(dāng)

a 2 = b 3 = c 2 a2+b2+c2=1

時等號成立．
所以

2

a+

3

b+2c≤|x-1|+|x+m|對任意實數(shù)a，b，c，x恒成立等價于|x-1|+|x+m|≥3對任意實數(shù)x恒成立．
又因為|x-1|+|x+m|≥|（x-1）-（x+m）|=|m+1|對任意x恒成立，因此有即|m+1|≥3，解得m≥2或m≤-4，
故選：B．

點評：本題主要考查柯西不等式、基本不等式的應(yīng)用，絕對值三角不等式，屬于基礎(chǔ)題．