Question

8．4個不同的紅球和6個不同的白球放入同一個袋中，現(xiàn)從中取出4個球．
（1）若取出的紅球的個數(shù)不少于白球的個數(shù)，則有多少種不同的取法？
（2）取出一個紅球記2分，取出一個白球記1分，若取出4個球總分不少于5分，則有多少種不同的取法？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分三類討論：①全取出紅球，②取出的4個球中有3個紅球1個白球，③取出的4個球中有2個紅球2個白球，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案；
（2）由間接法分析：先計算“從紅白共10個球中取出4個球”的取法數(shù)目，在計算“全是白球”的取法數(shù)目，由“從紅白共10個球中取出4個球”的取法數(shù)目減去“全是白球”的取法數(shù)目即可得答案．

解答 解：（1）依題意可知，取出的4個球中至少有2個紅球，可分為三類：
①全取出紅球，有C₄⁴種不同的取法；
②取出的4個球中有3個紅球1個白球，有C₄³×C₆¹種取法；
③取出的4個球中有2個紅球2個白球，有C₄²×C₆²種不同的取法．
由分類計數(shù)原理知，共有C₄⁴+C₄³×C₆¹+C₄²×C₆²=115種不同的取法．
（2）依題意知，若取出4個球總分不少于5分，則取出的4個球不能全部為白球，
從紅白共10個球中取出4個球，有C₁₀⁴種不同的取法，而全是白球的取法有C₆⁴種，
從而滿足題意的取法有：C₁₀⁴-C₆⁴=195種．

點評 本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，（2）中使用間接法分析，可以避免分類討論．