Question

【題目】已知點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的投影為，點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）已知直線與交于兩點(diǎn)，，若直線的斜率之和為3，直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）恒過定點(diǎn)（，）．

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可知，得到，代入化簡得到答案.

（2）設(shè)M（x1，y1），B（x2，y2），考慮斜率存在和斜率不存在兩種情況，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)斜率和為3得到，得到定點(diǎn).

（1） 設(shè)點(diǎn)，由題意可知，

為中點(diǎn)，即，即，

又點(diǎn)在圓上，，代入得，得到軌跡方程為.

（2）設(shè)M（x1，y1），B（x2，y2），

①當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)l：y＝kx+m，

由，得，

，即4k2﹣m2+1＞0，

∴，，

∵直線QM，QN的斜率之和為3，∴，

∴2k+＝3，∴2k＝3，∴，，

當(dāng)時，由 4k2﹣m2+1＞0，故，即或時符合題意，

此時直線l：y＝kx+恒過定點(diǎn)（，）；

②當(dāng)l的斜率不存在時，x1＝x2，y1＝﹣y2，

∵直線QM，QN的斜率之和為3，∴，

∴x2＝，此時直線l：x＝，恒過定點(diǎn)（，）．

綜上所述：直線過定點(diǎn)（，）．