【題目】設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*),等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn(n∈N*),已知a1=3,b1=1,a3+b2=10,S3﹣T2=11.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式:
(Ⅱ)若數(shù)列{cn}滿足c1=1,cn+1﹣cn=an,求c100;
(Ⅲ)設數(shù)列dn=anbn,求{dn}的前n項和Kn.
【答案】(Ⅰ)an=2n+1,bn=3n,n∈N*;(Ⅱ)10000;(Ⅲ)Kn=n3n+1.
【解析】
(Ⅰ)等差數(shù)列{an}的公差設為d,等比數(shù)列{bn}的公比設為q,運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式,解方程可得公差和公比,進而得到所求通項公式;
(Ⅱ)求得cn+1﹣cn=an=2n+1,由數(shù)列的恒等式cn=c1+(c2﹣c1)+(c3﹣c2)+…+(cn﹣cn﹣1),結(jié)合等差數(shù)列的求和公式,計算可得所求和;
(Ⅲ)求得dn=anbn=(2n+1)3n,運用數(shù)列的錯位相減法求和,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,計算可得所求和.
(Ⅰ)等差數(shù)列{an}的公差設為d,前n項和為Sn(n∈N*),
等比數(shù)列{bn}的公比設為q,前n項和為Tn(n∈N*),
由a1=3,b1=1,a3+b2=10,S3﹣T2=11,
可得3+2d+q=10,9+3d﹣(1+q)=11,
解得d=2,q=3,
則an=3+2(n﹣1)=2n+1,bn=33n﹣1=3n,n∈N*;
(Ⅱ)若數(shù)列{cn}滿足c1=1,cn+1﹣cn=an=2n+1,
可得cn=c1+(c2﹣c1)+(c3﹣c2)+…+(cn﹣cn﹣1)=1+3+5+…+(2n﹣1)
n(1+2n﹣1)=n2,
則c100=1002=10000;
(Ⅲ)dn=anbn=(2n+1)3n,
Kn=33+532+733+…+(2n+1)3n,
3Kn=332+533+734+…+(2n+1)3n+1,
兩式相減可得﹣2Kn=9+2(32+33+…+3n)﹣(2n+1)3n+1
=9+2(2n+1)3n+1,
化簡可得Kn=n3n+1.
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【題目】
如圖,長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)證明:BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.
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【題目】下列命題中正確的有( )
①常數(shù)數(shù)列既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列;②在中,若,則為直角三角形;③若為銳角三角形的兩個內(nèi)角,則;④若為數(shù)列的前項和,則此數(shù)列的通項.
A.①②B.②③C.③④D.①④
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【題目】已知點為圓上的動點,點在軸上的投影為,點為線段AB的中點,設點的軌跡為.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)已知直線與交于兩點,,若直線的斜率之和為3,直線是否恒過定點?若是,求出定點的坐標;若不是,請說明理由.
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【題目】已知關于的不等式,其中;
(1)試求不等式的解集;
(2)對于不等式的解集,記(其中為整數(shù)集),若集合為有限集,求實數(shù)的取值范圍,使得集合中元素個數(shù)最少,并用列舉法表示集合;
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【題目】已知,是橢圓的左、右焦點,橢圓過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線(不過坐標原點)與橢圓交于,兩點,且點在軸上方,點在軸下方,若,求直線的斜率.
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【題目】已知數(shù)列和滿足若為等比數(shù)列,且
(1)求和;
(2)設,記數(shù)列的前項和為
①求;
②求正整數(shù) k,使得對任意均有.
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