Question

5．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n+3，求數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）a_n+1=2a_n+3兩邊同時加3即可得出{a_n+3}為等比數(shù)列，從而求出a_n；
（II）nb_n=n2ⁿ⁺¹，使用錯位相減法求出S_n．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+3，∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∴{a_n+3}是以a₁+3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
∴${a_n}+3=（{a_1}+3）•{2^{n-1}}$=2ⁿ⁺¹，
∴${a_n}={2^{n+1}}-3$．
（Ⅱ）b_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹．
∴$n{b_n}=n•{2^{n+1}}$，
∴${S_n}=1•{2^2}+2•{2^3}+…+n•{2^{n+1}}$，①
∴$2{S_n}=1•{2^3}+2•{2^4}+…+n•{2^{n+2}}$，②
①-②得：$-{S_n}={2^2}+{2^3}+…+{2^{n+1}}-n•{2^{n+2}}$=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺²-4-n•2ⁿ⁺²，
∴${S_n}=（n-1）•{2^{n+2}}+4$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的判定，錯位相減法數(shù)列求和，屬于中檔題．