Question

10．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ） $（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最小正周期為2，且當x=$\frac{1}{3}$時，f（x）取得最大值2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）在閉區(qū)間[$\frac{21}{4}$，$\frac{23}{4}$]上是否存在f（x）圖象的對稱軸？如果存在，求出對稱軸方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的周期性，最值性，求出A，ω和φ的值的值即可求f（x）的解析式；（2）求出函數(shù)的對稱軸，解不等式即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)的最小正周期為2，
∴$\frac{2π}{ω}$=2，即ω=π，
∵當x=$\frac{1}{3}$時，f（x）的最大值為2，
∴A=2，
此時f（x）=2sin（πx+φ），
且f（$\frac{1}{3}$）=2sin（π×$\frac{1}{3}$+φ）=2，
即sin（$\frac{1}{3}$π+φ）=1，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
則f（x）=2sin（πx+2kπ+$\frac{π}{6}$）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）．
（2）由πx+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
得x=k+$\frac{1}{3}$，即函數(shù)的對稱軸為x=k+$\frac{1}{3}$，
由$\frac{21}{4}$≤k+$\frac{1}{3}$≤$\frac{23}{4}$，
即$\frac{21}{4}$-$\frac{1}{3}$≤k≤$\frac{23}{4}$-$\frac{1}{3}$，
即$\frac{59}{12}$≤k≤$\frac{65}{12}$，
∵k∈Z，
∴k=5，
故在閉區(qū)間[$\frac{21}{4}$，$\frac{23}{4}$]上是存在f（x）的對稱軸，
其方程是x=$\frac{16}{3}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及三角函數(shù)對稱軸的求解，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．