Question

f（x）定義在R上的函數(shù)，且不恒為零，對(duì)任意的x，y，均有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），則f（x）是

1. A.
   奇函數(shù)
2. B.
   偶函數(shù)
3. C.
   非奇非偶函數(shù)
4. D.
   既奇又偶函數(shù)

Answer 1

B
分析：由已知利用賦值法，令y=0可得，f（0）=1，令x=0，由f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）可得f（y）=f（-y），從而可得f（x）為偶函數(shù)
解答：∵對(duì)任意的x，y，均有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），
令y=x=0
則有2f（0）=2f²（0）
∴f（0）=0或f（0）=1
若f（0）=0，則由f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），可得當(dāng)y=0時(shí)f（x）+f（x）=2f（x）f（0）=0
與已知f（x）定義在R上的函數(shù)，且不恒為零矛盾，故f（0）≠0
∴f（0）=1
令x=0
則有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y）
∴f（y）=f（-y）
所以f（x）為偶函數(shù)
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)的奇偶性的判斷，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用賦值法進(jìn)行求解