Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距是2，離心率是0.5；
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：過(guò)點(diǎn)A（1，2）傾斜角為45°的直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；又記這兩個(gè)交點(diǎn)為P、Q，試求出線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直接根據(jù)焦距是2，離心率是0.5；求出c=1，a=2，再根據(jù)a，b，c之間的關(guān)系求出b；即可求橢圓的方程；
（2）把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，只要對(duì)應(yīng)的判別式大于0即可說(shuō)明結(jié)論．

解答： （1）解：由題意2c=2，∴c=1，…（2分）
由離心率是0.5，得a=2，∴b=

3

．…（4分）
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．    …（6分）
（2）證明：直線l：y-2=tan45°（x-1），即y=x+1．…（8分）
代入

x2

4

+

y2

3

=1，整理得：7x²+8x-8=0．…（10分）
∵△=8²-4×7×（-8）=288＞0…（11分）
∴過(guò)點(diǎn)A（1，2）傾斜角為45°的直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．   
線段PQ的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-

4

7

，縱坐標(biāo)為

3

7

，即M（-

4

7

，

3

7

）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用和直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題目，解題時(shí)要注意性質(zhì)的靈活運(yùn)用．