在如圖所示的四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AB=BC=1,AD=2,E為PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求異面直線PC與AD所成的角;
(Ⅱ)求證:平面PAC⊥平面PDC;
(Ⅲ)求直線EC與平面PAC所成角的余弦值.
考點(diǎn):直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定
專題:空間角
分析:
 
 
 
要求異面直線所成的角,要先找到這個(gè)角,通過條件能找到直線PC與AD所成的角是∠PCB,根據(jù)條件求出即可.證明平面和平面垂直,根據(jù)面面垂直的判定定理,需從一個(gè)平面內(nèi)找到一條直線,讓它和另一平面垂直.根據(jù)條件PA⊥平面ABCD,所以得到PA⊥DC,即DC⊥PA,那么這時(shí)候想著,看CD能不能垂直于AC,然后根據(jù)條件是可以的.第三問是求線面角,要先找到這個(gè)角,通過觀察圖形會(huì)發(fā)現(xiàn)取PC邊的中點(diǎn),∠ECE′便是所找的角.
解答: (Ⅰ)解:如圖,∵AD∥BC∴異面直線PC與AD所成的角即是直線PC與BC所成的角,

所以∠PCB即是異面直線PC與AD所成的角; 
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AB,PA⊥AD,即AD⊥PA,又∠BAD=90°,∴AD⊥AB;
∴AD⊥平面PAB,∴BC⊥平面PAB;
∴△PBC是直角三角形;
∴根據(jù)條件,PB=
2
,tan∠PCB=
2
;
∴異面直線PC與AD所成的角是arctan
2

(Ⅱ)證明:連接AC,∵PA⊥平面ABCD;
∴PA⊥DC,即DC⊥PA;
過C作CC′⊥AD,交AD于C′,則CC′=1,C′D=1,∴CD=
2

又AC=
2
,∴AC2+CD2=2+2=AD2
∴DC⊥AC;
∵AC∩PA=A;
∴DC⊥平面PAC;
又DC?平面PDC;
所以平面PAC⊥平面PDC.
(Ⅲ)取PC中點(diǎn)E′,則EE′∥DC,
由(Ⅱ)知DC⊥平面PAC
則EF⊥平面PAC
所以∠ECE′為直線EC與平面PAC所成的角
CE′=
3
2
,EF=
2
2
;
∴EC=
5
2
,∴cos∠ECE′=
15
5
;
即直線EC與平面PAC所成角的余弦值是
15
5
點(diǎn)評:考查的知識點(diǎn)有:異面直線所成角,面面垂直的判定定理,線面垂直的判定定理,線面角的定義.這里要注意的是,若求的是角,需先找到這個(gè)角,然后根據(jù)條件求出即可;而要判斷垂直問題,找判定定理所需具備的條件.
練習(xí)冊系列答案
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2a
21
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1
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