Question

14．若變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，則z=x+2y取得最大值的最優(yōu)解為A（a，b），點(diǎn)A在直線2mx+ny=2上，則m²+n²的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． $\frac{9}{2}$
• C． 5
• D． $\frac{11}{2}$

Answer 1

分析 首先求出z的最大值最優(yōu)解，然后利用點(diǎn)A在直線2mx+ny=2上得到關(guān)于m，n的等式，進(jìn)一步求m²+n²的最小值．

解答 解：約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過(guò)圖中A時(shí)z最大，
又由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=1}\end{array}\right.$得A（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
∵點(diǎn)A在直線2mx+ny=2上
∴$\frac{1}{3}$×2m$+\frac{2}{3}$n=2，即m+n=3，
∴m²+n²=m²+（3-m）²=2m²-6m+9=2（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{2}$，
當(dāng)m=n=$\frac{3}{2}$時(shí)，m²+n²有最小值，最小值為$\frac{9}{2}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題以及利用二次函數(shù)求最值；關(guān)鍵是找出z取最優(yōu)解的A點(diǎn)坐標(biāo)，得到關(guān)于m，n的等式．