Question

9．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是平行六面體，設(shè)M是底面ABCD中AC與BD的交點，N是側(cè)面BCC₁B₁對角線BC₁上的點，且$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{N{C}_{1}}$，設(shè)$\overrightarrow{MN}$=α$\overrightarrow{AB}$+β$\overrightarrow{AD}$+γ$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，則α、β、γ的值分別為-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 如圖所示，由$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{BN}$，且$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{N{C}_{1}}$，可得$\overrightarrow{MB}$=$-\overrightarrow{BM}$=-$\frac{1}{2}$$（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$=-$\frac{1}{2}$$（-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$，$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=$\frac{1}{4}$$（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}_{1}}）$=$\frac{1}{4}$$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}）$，代入即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{BN}$，且$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{N{C}_{1}}$，
$\overrightarrow{MB}$=$-\overrightarrow{BM}$=-$\frac{1}{2}$$（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$=-$\frac{1}{2}$$（-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$，
$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=$\frac{1}{4}$$（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}_{1}}）$=$\frac{1}{4}$$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}）$，
∴$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{2}$$（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$+$\frac{1}{4}$$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}）$
=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
又$\overrightarrow{MN}$=α$\overrightarrow{AB}$+β$\overrightarrow{AD}$+γ$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
則α=-$\frac{1}{2}$，β=$\frac{3}{4}$，γ=$\frac{1}{4}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了向量共線定理、平面向量共線定理、空間向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．