Question

已知函數f（x）=x-

1

x

-alnx
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂，過A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直線斜率為k=2-a能否成立．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求導，令導數等于零，解方程，跟據f′（x）f（x）隨x的變化情況即可求出函數的單調區(qū)間；
（2）假設存在a，使得k=2-a，根據（1）利用韋達定理求出直線斜率為k，根據（1）函數的單調性，推出矛盾，即可解決問題．

解答： 解解：（1）f（x）定義域為（0，+∞），
f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

=

x2-ax+1

x2

，
令g（x）=x²-ax+1，△=a²-4，
①當-2≤a≤2時，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
②當a＜-2時，△＞0，g（x）=0的兩根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
③當a＞2時，△＞0，g（x）=0的兩根為x₁=

a- a2-4

2

，x₂=

a+ a2-4

2

，
當0＜x＜x₁時，f′（x）＞0；當x₁＜x＜x₂時，f′（x）＜0；當x＞x₂時，f′（x）＞0；
故f（x）分別在（0，

a- a2-4

2

），（

a+ a2-4

2

，+∞）上單調遞增，在（

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

）上單調遞減．
（2）由（I）知，a＞2．
因為f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+

x1-x2

x1x2

-a（lnx₁-lnx₂），
所以k═1+（

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=1+

1

x1•x2

-a•

lnx1-lnx2

x1-x2

，
又由（1）知，x₁x₂=1．于是
k=2-a•

lnx1-lnx2

x1-x2

，
若存在a，使得k=2-a，則

lnx1-lnx2

x1-x2

=1，即lnx₁-lnx₂=x₁-x₂，
亦即 x₂-

1

x2

-2lnx₂=0，（x₂＞1）（*）
再由（1）知，函數h（t）=t-

1

t

-2lnt在（0，+∞）上單調遞增，
而x₂＞1，
所以x₂-

1

x2

-2lnx₂＞1-1-2ln1=0，這與（*）式矛盾，
故不存在a，使得k=2-a．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性和極值問題，對方程f'（x）=0有無實根，有實根時，根是否在定義域內和根大小進行討論，體現了分類討論的思想方法，其中問題（2）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．屬于難題．