【題目】如下圖，在空間直角坐標系中，正四面體（各條棱均相等的三棱錐）的頂點分別在軸， 軸， 軸上.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）設，寫出A，B，C的坐標，再求出D點坐標，從而得的坐標，只要它與平面的法向量垂直，即可證明線面平行；

（Ⅱ）求二面角，可取AB的中點F，由能證明∠CFD是所求二面角的平面角，在中由得余弦定理可得余弦值．也可求出二面角的兩個面的法向量，由法向量夾角的余弦可得二面角的余弦．

試題解析：

（Ⅰ）由，易知.

設，則， ， ， ,

設點的坐標為，則由，

可得 ，

解得，

所以.

又平面的一個法向量為，

所以，所以平面.

（Ⅱ）設為的中點，連接，

則， ， 為二面角的平面角.

由（Ⅰ）知，在中， ， ，

則由余弦定理知，即二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某購物網站對在7座城市的線下體驗店的廣告費指出（萬元）和銷售額（萬元）的數(shù)據統(tǒng)計如下表：

城市

廣告費支出

銷售額

（Ⅰ）若用線性回歸模型擬合與關系，求關于的線性回歸方程；

（Ⅱ）若用對數(shù)函數(shù)回歸模型擬合與的關系，可得回歸方程，經計算對數(shù)函數(shù)回歸模型的相關系數(shù)約為，請說明選擇哪個回歸模型更合適，并用此模型預測城市的廣告費用支出萬元時的銷售額.

參考數(shù)據： ， ， ， ， ， .

參考公式： ， .

相關系數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市政府為了引導居民合理用水，決定全面實施階梯水價，階梯水價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準定價：若用水量不超過12噸時，按4元/噸計算水費；若用水量超過12噸且不超過14噸時，超過12噸部分按6.60元/噸計算水費；若用水量超過14噸時，超過14噸部分按7.8元/噸計算水費．為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100戶居民的月用水量（單位：噸），將數(shù)據按照分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）假設用抽到的100戶居民月用水量作為樣本估計全市的居民用水情況．

（ⅰ）現(xiàn)從全市居民中依次隨機抽取5戶，求這5戶居民恰好3戶居民的月用水量都超過12噸的概率；

（ⅱ）試估計全市居民用水價格的期望（精確到0.01）；

（Ⅱ）如圖2是該市居民李某2016年1～6月份的月用水費（元）與月份的散點圖，其擬合的線性回歸方程是．若李某2016年1～7月份水費總支出為294.6元，試估計李某7月份的用水噸數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點，過點且與軸垂直的直線為， 軸，交于點，直線垂直平分，交于點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）記點的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點，且（為常數(shù)），直線與平行，且與曲線相切，切點為，試問的面積是否為定值.若為定值，求出的面積；若不是定值，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某次有600人參加的數(shù)學測試，其成績的頻數(shù)分布表如圖所示，規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀.

區(qū)間

[75，80)

[80，85)

[85，90)

[90，95)

[95，100]

人數(shù)

36

114

244

156

50

（Ⅰ）現(xiàn)用分層抽樣的方法從這600人中抽取20人進行成績分析，求其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學生人數(shù)；

（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的20名學生中，要隨機選取2名學生參加活動，記“其中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)”為，求的分布列與數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【2018河南安陽市高三一模】如下圖，在平面直角坐標系中，直線與直線之間的陰影部分即為，區(qū)域中動點到的距離之積為1．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）動直線穿過區(qū)域，分別交直線于兩點，若直線與軌跡有且只有一個公共點，求證： 的面積恒為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知正項等比數(shù)列{an}(n∈N*)，首項a1＝3，前n項和為Sn，且S3＋a3、S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）數(shù)列{nan}的前n項和為Tn，若對任意正整數(shù)n，都有Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．

（1）若a3+b3=5，求{bn}的通項公式；

（2）若T3=21，求S3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知直線的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立極坐標系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）設為曲線上任意一點，求的最小值.

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