Question

如圖，已知是正三棱柱，它的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都是2，D為側(cè)棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求直線到平面的距離；

（3）求二面角的正切值．

Answer 1

解：(1)證明:連結(jié)C1E,則C1E^A1B1,

又∵A1B1^C1C,∴A1B1^平面EDC1,∴A1B­1^DE,

而A1B1//AB,∴AB^DE.  ……………3分

(2)取AB中點(diǎn)為F,連結(jié)EF,DF,則EF^AB,∴AB^DF.

   過(guò)E作直線EH^DF于H點(diǎn),則EH^平面DAB,∴EH就是直線A1B1到平面DAB的距離. 在矩形C1EFC中,∵AA1=AB=2,∴EF=2,C1E=,DF=2,

∴在△DEF中,EH=,……………7分

故直線A1B1到平面DAB的距離為.       

(3)過(guò)A作AM^BC于M點(diǎn),則AM^平面CDB,

   過(guò)M作MN^BD于N點(diǎn),連結(jié)AN,則AN^BD,∴∠ANM即為所求二面角的平面角,

   在Rt△DCB中,BC=2,DC=1,M為BC中點(diǎn),∴MN=,

   在Rt△AMN中,tan∠ANM=……………12分