Question

a₁=4，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，令b_n=

an

2n

．
（1）求證{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項公式，并其求的前項和S_n的通項．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，由此能證明{b_n}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）知

an

2n

=2+（n-1）×1=n+1，從而a_n=（n+1）•2ⁿ．由此利用錯位相減法能求出S_n=n•2ⁿ⁺¹．

解答： （1）證明：∵a₁=4，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，令b_n=

an

2n

．
∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，
∵

a1

2

=2，b_n=

an

2n

，
∴{b_n}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知

an

2n

=2+（n-1）×1=n+1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ．
∴S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，①
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+(n+1)•2n+1，②
①-②，得：-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．