Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

．
（1）若a＞0，試判斷f（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=-2時(shí)，求f（x）的最小值；
（3）若f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，然后判斷f′（x）的符號，從而找到它的單調(diào)區(qū)間．
（2）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，然后判斷f′（x）的符號，從而找到它的單調(diào)區(qū)間，繼而找到較小值點(diǎn)，求得即可．
（3）求導(dǎo)，令f′（x）=0得x=-a，以-a在[1，e]內(nèi)，左，右分為三類來討論，函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值，令其等于

3

2

，求出a的值，由范圍來取舍，得了a的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-

a

x

．（x＞0）且a＞0
∴f′（x）=

1

x

+

a

x2

＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=lnx+

2

x

．x＞0
∴f′（x）=

1

x

-

2

x2

=

1

x

（1-

1

x

）=

1

x

•

x-1

x

令f′（x）=0，得x=1，
當(dāng)f′（x）＞0，即x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即0＜x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）遞減，
所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為f（1）=ln1+2=2，
（3）∵f′（x）=

1

x

+

a

x2

，
令f′（x）＜0得x＜-a，令f′（x）＞0，得x＞-a，
①-a≤1，即a≥-1時(shí)，f（x）在[1，e]上單增，f（x）最小值=f（1）=-a=

3

2

，a=-

3

2

＜-1，不符，舍去；
②-a≥e，即a≤-e時(shí)，f（x）在[1，e]上單減，f（x）最小值=f（e）=1-

a

e

=，a=-

e

2

＞-e，不符，舍去；
③1＜-a＜e，即-e＜a＜-1時(shí)，f（x）在[1，-a]上單減，在[-a，e]上單增，f（x）最小值=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，
解a=-

e

點(diǎn)評：本題主要考查會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，要確定函數(shù)的單調(diào)性，注意分類討論思想的應(yīng)用．