Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x-2|+|x+5|-m}$的定義域為R．
（Ⅰ）求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若m=4，解不等式f（x）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x-2|+|x+5|-m}$的定義域為R轉(zhuǎn)化為對任意實數(shù)x，有|x-2|+|x+5|-m≥0恒成立，然后利用絕對值的幾何意義求得|x-2|+|x+5|的最小值得答案；
（Ⅱ）把m值代入不等式，化為絕對值的不等式后再由絕對值的幾何意義求解．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x-2|+|x+5|-m}$的定義域為R，
∴對任意實數(shù)x，有|x-2|+|x+5|-m≥0恒成立，
即m≤|x-2|+|x+5|恒成立，
由|x-2|+|x+5|的幾何意義，即數(shù)軸上的動點x與兩定點2、-5的距離之和得：

（|x-2|+|x+5|）_min=7，
∴m≤7；
（Ⅱ）當m=4時，f（x）=$\sqrt{|x-2|+|x+5|-4}$，
由f（x）＞2，得$\sqrt{|x-2|+|x+5|-4}$＞2，
即|x-2|+|x+5|＞8，
結(jié)合|x-2|+|x+5|的幾何意義，可得x$＜-\frac{11}{2}$或x$＞\frac{5}{2}$，
∴不等式f（x）＞2的解集為（-∞，$-\frac{11}{2}$）∪（$\frac{5}{2}，+∞$）．

點評 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了絕對值的幾何意義的用法，是中檔題．