Question

17．定義在R的函數(shù)f（x）=ln（|x|+1）-$\frac{1}{x^2+1}$，滿足f（2x-1）＞f（x+1），則x的取值范圍（-∞，0）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)，反比例函數(shù)及復(fù)合函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可判斷出f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，并容易說明f（x）為偶函數(shù)，從而便可由f（2x-1）＞f（x+1）得到f（|2x-1|）＞f（|x+1|），從而得到|2x-1|＞|x+1|，這樣解該不等式便可得出x的取值范圍．

解答 解：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1）-\frac{1}{{x}^{2}+1}}&{x≥0}\\{ln（-x+1）-\frac{1}{{x}^{2}+1}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
令x²+1=t，$y=-\frac{1}{t}$單調(diào)遞增；
∵x≥0時，t=x²+1單調(diào)遞增；
∴$y=-\frac{1}{{x}^{2}+1}$在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
又y=ln（x+1）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
f（x）的定義域為R，且f（-x）=f（x）；
∴f（x）為偶函數(shù)；
∴由f（2x-1）＞f（x+1）得，f（|2x-1|）＞f（|x+1|）；
∵f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴|2x-1|＞|x+1|；
∴（2x-1）²＞（x+1）²；
解得x＜0，或x＞2；
∴x的取值范圍為（-∞，0）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，0）∪（2，+∞）．

點評 考查二次函數(shù)、反比例函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號，以及偶函數(shù)的定義及判斷方法，根據(jù)增函數(shù)的定義解不等式的方法．