Question

4．已知a＞0且a≠1，若函數(shù)f（x）=log_a（ax²-2x+3）在[$\frac{1}{2}$，2]上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 對a是否大于1進(jìn)行分情況討論，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出二次函數(shù)在[$\frac{1}{2}$，2]的單調(diào)性，列出不等式組解出a的范圍．

解答 解：設(shè)g（x）=ax²-2x+3，則g（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=$\frac{1}{a}$．
（1）若0＜a＜1，則g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上是減函數(shù)，且g_min（x）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}≥2}\\{4a-1＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{4}＜a≤\frac{1}{2}$；
（2）若a＞1，則g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上是增函數(shù)，且g_min（x）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}≤\frac{1}{2}}\\{\frac{a}{4}+2＞0}\end{array}\right.$，解得a≥2．
綜上，a的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）．

點評 本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．