Question

16．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，且側(cè)面BB₁C₁C是菱形，∠B₁BC=60°．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥BC；
（Ⅱ）若AB⊥AC，AB₁=BB₁，且該三棱柱的體積為2$\sqrt{6}$，求AB的長．

Answer 1

分析 （I）取BC中點(diǎn)M，連結(jié)AM，由AB=AC得AM⊥BC，由菱形和等邊三角形的性質(zhì)得出BC⊥B₁M，故BC⊥平面AB₁M，故而AB₁⊥BC；
（II）利用勾股定理的逆定理得出AM⊥B₁M，從而B₁M⊥平面ABC，故而B₁M為棱柱的高，根據(jù)棱柱的體積列方程解出AB．

解答 解：（I）取BC中點(diǎn)M，連結(jié)AM，B₁M，
∵AB=AC，M是BC的中點(diǎn)，
∴AM⊥BC，
∵側(cè)面BB₁C₁C是菱形，∠B₁BC=60°，
∴B₁M⊥BC，
又AM?平面AB₁M，B₁M?平面AB₁M，AM∩B₁M=M，
∴BC⊥平面AB₁M，∵AB₁?平面AB₁M，
∴BC⊥AB₁．
（II）設(shè)AB=x，則AC=x，BC=$\sqrt{2}$x，
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴AM=$\frac{\sqrt{2}x}{2}$，BB₁=$\sqrt{2}x$，B₁M=$\frac{\sqrt{6}x}{2}$，
又∵AB₁=BB₁，∴AB₁=$\sqrt{2}x$，
∴AB₁²=B₁M²+AM²，∴B₁M⊥AM．
由（I）知B₁M⊥BC，AM?平面ABC，BC?平面ABC，AM∩BC=M，
∴B₁M⊥平面ABC，
∴V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}{x}^{2}×\frac{\sqrt{6}x}{2}$=$\frac{\sqrt{6}{x}^{3}}{4}=2\sqrt{6}$，
∴x=2，即AB=2．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，幾何體體積計(jì)算，屬于中檔題．