Question

1．已知拋物線M：y²=12x的焦點(diǎn)F到雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）漸近線的距離為$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，點(diǎn)P是拋物線M上的一動(dòng)點(diǎn)，且P到雙曲線C的焦點(diǎn)F₁（0，c）的距離與到直線x=-3的距離之和的最小值為5，則雙曲線C的方程為（　�。�

• A． $\frac{{y}^{2}}{12}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{12}$=1
• C． $\frac{{y}^{2}}{6}$-$\frac{{x}^{2}}{10}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{10}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義，可得當(dāng)P，F(xiàn)，F(xiàn)₁共線時(shí)，和|PF₁|+|PF|取得最小值，且為|FF₁|=5，即有c²=16，再由雙曲線的漸近線方程和點(diǎn)到直線的距離公式可得a=$\sqrt{10}$，b=$\sqrt{6}$，進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：拋物線y²=12x的焦點(diǎn)為F（3，0），準(zhǔn)線方程為x=-3，
則P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F₁（0，c）的距離
與到直線x=-3的距離之和，即為|PF₁|+|PF|，
當(dāng)P，F(xiàn)，F(xiàn)₁共線時(shí)，和取得最小值，且為|FF₁|=5，
即有c²+9=25，即有c²=16，
又F（3，0）到直線ax+by=0的距離為$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，
即$\frac{3a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{3a}{4}$=$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，即a=$\sqrt{10}$，則b=$\sqrt{6}$，
則該雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{10}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．