Question

11．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的傾斜角為$\frac{2π}{3}$，離心率為e，$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}$最小值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，由題意可得b=$\sqrt{3}$a，c=2a，e=$\frac{c}{a}$=2，再由基本不等式可得最小值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得-$\frac{a}$=tan$\frac{2π}{3}$=-$\sqrt{3}$，
即有b=$\sqrt{3}$a，c=2a，e=$\frac{c}{a}$=2，
則$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+4}{\sqrt{3}a}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a+$\frac{4}{a}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$•2$\sqrt{a•\frac{4}{a}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
當且僅當a=2時，取得最小值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，考查離心率公式的運用，以及基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．