Question

3．已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F（-2$\sqrt{5}$，0），且過點(diǎn)D（6，0）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)A（4，2），且P是橢圓上的動點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由左焦點(diǎn)為F（-2$\sqrt{5}$，0），過點(diǎn)為D（6，0），得到橢圓的半長軸a，半焦距c，再求得半短軸b，最后由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上求得方程．
（2）求出橢圓的參數(shù)方程，α為參數(shù)，得到P的坐標(biāo)，設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），由點(diǎn)A、P、M的關(guān)系，求出線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（1）∵在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，
它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F（-2$\sqrt{5}$，0），且過點(diǎn)D（6，0）．
∴橢圓的半長軸a=6，半焦距c=2$\sqrt{5}$，則半短軸b=4．
∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
（2）橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$的參數(shù)方程是：$\left\{\begin{array}{l}{x=6cosα}\\{y=4sinα}\end{array}\right.$，α為參數(shù)．
∴P（6cosα，4sinα），
設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），
∵A（4，2），P（6cosα，4sinα），
∴x=$\frac{4+6cosα}{2}$，y=$\frac{2+4sinα}{2}$，
∴cosα=$\frac{1}{3}$（x-2），
sinα=$\frac{1}{2}$（y-1），
∴$\frac{（{x-2）}^{2}}{9}$+$\frac{（y-1）^{2}}{4}$=1．
∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是：$\frac{（{x-2）}^{2}}{9}$+$\frac{（y-1）^{2}}{4}$=1．

點(diǎn)評 本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．