Question

12．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）•|x-a|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）設(shè)h（x）=f（x）_min，x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．

Answer 1

分析 （1）分x≥a和x＜a兩種情況來討論去絕對值，再對每一段分別求最小值，借助二次函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性．最后綜合即可；
（2）由x＞a的f（x）的最小值，分別解不等式，再求并即可得到所求解集．

解答 解：（1）當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=3x²-2ax+a²，
∴f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{f（a），a≥0}\\{f（\frac{a}{3}），a＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}，a≥0}\\{\frac{2}{3}{a}^{2}，a＜0}\end{array}\right.$，
如圖所示：

當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=x²+2ax-a²，
∴f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{f（-a），a≥0}\\{f（a），a＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{-2{a}^{2}，a≥0}\\{2{a}^{2}，a＜0}\end{array}\right.$．

綜上所述：f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-2{a}^{2}，a≥0}\\{\frac{2}{3}{a}^{2}，a＜0}\end{array}\right.$；
（2）設(shè)h（x）=f（x）_min，x∈（a，+∞），
當(dāng)x＞a時(shí)，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}，a≥0}\\{\frac{2}{3}{a}^{2}，a＜0}\end{array}\right.$，
當(dāng)a≥0時(shí)，2a²≥1，解得a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)a＜0時(shí)，$\frac{2}{3}$a²≥1，解得a≤-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
綜上可得，不等式h（x）≥1的解集為（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．