Question

若函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c＞0）在R上是單調函數，則

f′(1)

b

的取值范圍為（　　）

• A、（4，+∞）
• B、（2+2

  3

  ，+∞）
• C、[4，+∞）
• D、[2+2

  3

  ，+∞）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：利用導數求解，由函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c＞0）在R上是單調函數，可得f′（x）＞0恒成立，
找出a，b，c的關系，再利用基本不等式求最值．

解答： 解：∵函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c＞0）在R上是單調函數，
∴f′（x）＞0在R上恒成立，即3ax²+2bx+c＞0恒成立，即△=4b²-12ac≤0 即b²≤3ac，
∴

f′(1)

b

=

3a+2b+c

b

=

3a

b

+

c

b

+2≥2

3ac b2

+2≥4．
故選C．

點評：考查利用導數即基本不等式的解決問題的能力，把問題轉化為恒成立問題解決是本題的關鍵，應好好體會這種問題的轉化思路．