Question

【題目】已知函數(shù) （，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】試題分析：

由題得,，則：

（1）由題意可得，即，；

（2）原問(wèn)題等價(jià)于時(shí)，求函數(shù)的最小值.

結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式可知函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.據(jù)此分類討論可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.

試題解析：

由題得,

（1）由曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，得，

即，

解得

（2）設(shè)，

則只需求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值.

令，解得或，

而，即.

從而函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，；

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值即為其在區(qū)間上的最小值，.

綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.